作者：施琳
數學模型是針對現實世界的特定物件，為了一定目的，進行必要的簡化和假設，運用數學符號、數學公式、程式、圖形等，概括表達問題的數量關係和空間形式的一種工具。人們可以根據實際問題來建立數學模型，對它進行求解，然後根據結果去解決實際問題。國際知名學者周海中教授在1993年發表的《21世紀數學展望》一文中指出：“數學模型在今後將顯得越來越重要。”他的這一預見，被後來的事實證明是正確的。
數學作為一門基礎學科，逐步滲透到各個學科，隨著科技的高速發展，數學不僅僅是現代科技的思想庫，更成為解決問題的方法手段。因此，數學模型所表達的內容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現出來，所以數學模型的操作方式偏向於定量形式。數學模型實際上是人們對現實世界的一種反映形式，因此它與現實世界的原型就應有一定的“相似性”，抓住與原型相似的數學運算式或數學理論就是建立數學模型的關鍵性技巧。
數學模型大致可以分為兩類：正演數學模型和反演數學模型。正演數學模型是根據各變數之間的某種關係建立方程或方程組，通過對方程或方程組的求解得到數學模型；反演數學模型是根據實際資料，通過某種方法尋求能符合或基本符合這些實際資料的某些數學運算式，以此來建立數學模型。數學建模的求解可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是電腦技術；建模的一般過程為模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析和模型檢驗。
模型準備就是了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握物件的各種資訊；模型假設就是根據實際物件的特徵和建模的目的，對問題進行必要的簡化，並用精確的語言提出一些恰當的假設；模型建立就是在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻畫各變數常量之間的數學關係，對模型的所有參數做出計算；模型分析就是對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結果進行數學上的分析；模型檢驗就是將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。
數學模型以其清晰簡捷、易於操作的數學運算式，可明確表達事物發展過程中各變數之間的關係。它所表達的內容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現出來。它實際上是人們對現實世界的一種模擬或反映形式，所以與現實世界的原型有一定的“相似性”，抓住與原型相似的數學運算式或數學理論就是建立數學模型的關鍵性技巧。數學模型是溝通擺在面前的實際問題與數學工具之間聯繫的一座必不可少的橋樑，它在科學研究中有著廣泛應用，並起著十分重要的作用。
例如中國科學院昆明動物研究所生物學家馬占山研究員最近基於一個用於描述生物多樣性時空分佈的新數學模型，提出了一項預測估計潛在生物多樣性的方法。潛在生物多樣性也被稱為“暗”生物多樣性，其概念類似於物理學中“暗物質”，一般指局部群落中可能並不存在，但存在於特定生境的區域物種庫中的物種。該數學模型有效地描述了不同時空菌群多樣性的三維動態變化。而室內菌群的研究是目前建築學和微生物交叉研究領域的重要熱點課題；許多科學家已經開始探索室內環境微生物菌群動態對於居民健康的影響。
又如加拿大不列顛哥倫比亞大學物理學家本·蒂皮特博士與美國馬里蘭大學物理學家大衛·臧博士前不久創建了一個名為TARDIS的數學模型，以證明時空旅行是可行的。他們解釋稱，“我們的時空旅行模型通過彎曲時空將時間形成閉環，而不再是一條直線。”他們還聲稱，TARDIS是一種時空幾何“氣泡”，相應的時空旅行速度要快於光速。不過，蒂皮特博士表示：“雖然時空旅行在數學模型上是可行的，但由於目前沒有相關的材料和方式來壓縮時空，因此我們還無法建立一個時空機器。”
再如國際知名醫學雜誌《柳葉刀》前不久發表了一篇名為“COVID-19將繼續，但大流行即將結束”的文章，稱新冠疫情即將結束；文章作者為美國華盛頓大學健康計量和評估研究所（IHME）主任克里斯多夫·默里教授。根據已有資料，默里教授預測，到2022年3月，世界上很大一部分人將感染奧密克戎毒株；這一結論是他所用的預測模型得出的，該模型只是眾多數學模型中的一個特例。
日前，澳大利亞莫納什大學特納大腦和心理健康研究所的研究人員檢查了1萬多張不同的人類大腦活動地圖，發現人腦的整體形狀對思維、感覺和行為的影響遠遠大於其複雜的神經元連接。研究人員利用數學模型證實了這一理論預測，即幾何形狀和功能之間的密切聯繫是由傳播到整個大腦的波狀活動驅動的，原理類似於池塘的形狀影響落在水面的鵝卵石形成的波紋。
需要指出的是，在科學研究中，數學模型並非萬能，存在一定的局限性，即通常所說的資料不足而預測不准，加上科研工作存在不確定性。其實，數學模型只是一種分析和預測的工具，它是根據已有的資料和資訊進行的推測，其結論可能會相對準確、可靠；這對人們判斷複雜事物的走勢而作出決策具有實用意義和參考價值。
文/施琳（作者單位：美國哥倫比亞大學文理學院）
