数学模型是针对现实世界的特定对象，为了一定目的，进行必要的简化和假设，运用数学符号、数学公式、程序、图形等，概括表达问题的数量关系和空间形式的一种工具。人们可以根据实际问题来建立数学模型，对它进行求解，然后根据结果去解决实际问题。国际知名学者周海中教授在1993年发表的《21世纪数学展望》一文中指出：“数学模型在今后将显得越来越重要。”他的这一预见，被后来的事实证明是正确的。
数学作为一门基础学科，逐步渗透到各个学科，随着科技的高速发展，数学不仅仅是现代科技的思想库，更成为解决问题的方法手段。因此，数学模型所表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但必须以定量的方式体现出来，所以数学模型的操作方式偏向于定量形式。数学模型实际上是人们对现实世界的一种反映形式，因此它与现实世界的原型就应有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。
数学模型大致可以分为两类：正演数学模型和反演数学模型。正演数学模型是根据各变量之间的某种关系建立方程或方程组，通过对方程或方程组的求解得到数学模型；反演数学模型是根据实际数据，通过某种方法寻求能符合或基本符合这些实际数据的某些数学表达式，以此来建立数学模型。数学建模的求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术；建模的一般过程为模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析和模型检验。
模型准备就是了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息；模型假设就是根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设；模型建立就是在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量常量之间的数学关系，对模型的所有参数做出计算；模型分析就是对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析；模型检验就是将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。
数学模型以其清晰简捷、易于操作的数学表达式，可明确表达事物发展过程中各变量之间的关系。它所表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但必须以定量的方式体现出来。它实际上是人们对现实世界的一种模拟或反映形式，所以与现实世界的原型有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁，它在科学研究中有着广泛应用，并起着十分重要的作用。
例如中国科学院昆明动物研究所生物学家马占山研究员最近基于一个用于描述生物多样性时空分布的新数学模型，提出了一项预测估计潜在生物多样性的方法。潜在生物多样性也被称为“暗”生物多样性，其概念类似于物理学中“暗物质”，一般指局部群落中可能并不存在，但存在于特定生境的区域物种库中的物种。该数学模型有效地描述了不同时空菌群多样性的三维动态变化。而室内菌群的研究是目前建筑学和微生物交叉研究领域的重要热点课题；许多科学家已经开始探索室内环境微生物菌群动态对于居民健康的影响。
又如加拿大不列颠哥伦比亚大学物理学家本·蒂皮特博士与美国马里兰大学物理学家大卫·臧博士前不久创建了一个名为TARDIS的数学模型，以证明时空旅行是可行的。他们解释称，“我们的时空旅行模型通过弯曲时空将时间形成闭环，而不再是一条直线。”他们还声称，TARDIS是一种时空几何“气泡”，相应的时空旅行速度要快于光速。不过，蒂皮特博士表示：“虽然时空旅行在数学模型上是可行的，但由于目前没有相关的材料和方式来压缩时空，因此我们还无法建立一个时空机器。”
再如国际知名医学杂志《柳叶刀》前不久发表了一篇名为“COVID-19将继续，但大流行即将结束”的文章，称新冠疫情即将结束；文章作者为美国华盛顿大学健康计量和评估研究所（IHME）主任克里斯托弗·默里教授。根据已有数据，默里教授预测，到2022年3月，世界上很大一部分人将感染奥密克戎毒株；这一结论是他所用的预测模型得出的，该模型只是众多数学模型中的一个特例。
日前，澳大利亚莫纳什大学特纳大脑和心理健康研究所的研究人员检查了1万多张不同的人类大脑活动地图，发现人脑的整体形状对思维、感觉和行为的影响远远大于其复杂的神经元连接。研究人员利用数学模型证实了这一理论预测，即几何形状和功能之间的密切联系是由传播到整个大脑的波状活动驱动的，原理类似于池塘的形状影响落在水面的鹅卵石形成的波纹。
需要指出的是，在科学研究中，数学模型并非万能，存在一定的局限性，即通常所说的数据不足而预测不准，加上科研工作存在不确定性。其实，数学模型只是一种分析和预测的工具，它是根据已有的数据和信息进行的推测，其结论可能会相对准确、可靠；这对人们判断复杂事物的走势而作出决策具有实用意义和参考价值。
文/施琳（作者单位：美国哥伦比亚大学文理学院）