文/李力
1900年8月，德国数学家大卫·希尔伯特在法国巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出20世纪数学家应当努力解决的 23 个问题。这些问题成为了后世数学家们努力攻克的难关，并对现代数学的研究和发展产生了积极和深刻的影响。一个多世纪过去了，这些问题中的大多数得到了圆满解决或部分解决，但有些依然未能解决，其中包括第12个问题——类域的构成。然而最近，这一难题却被美国数学家萨米特·达斯古普塔教授和印度数学家马赫什·卡克德教授借助计算机破解了。
电子计算机(简称“计算机”)是20世纪最先进的科学技术发明之一，对人类的生产活动和社会活动产生了极其重大的影响，成为信息社会中必不可少的重要工具。在当今互联网时代，计算机已经应用于几乎所有的领域，数学当然也不例外。目前，许多科学家正在借助计算机来解决数学难题，相信不久的将来这方面将会有所突破。
借助计算机来解决数学难题，是很值得人们关注的。而计算机的应用，既改变了数学研究的方法，也提高了数学研究的效率。众所周知，数学是一切现代科学的基础，尤其是计算机科学的基础理论；回顾计算机发展史，其中的每一次飞跃都离不开数学的贡献。有趣的是，计算机的出现反过来给予人们另外一种探索数学规律的手段。
计算机的发明，是为计算而来，而算力始终是计算机的根本。计算机的介入，扩展了数学研究的领域，促进了计算数学的发展。尤其是运算量极其庞大的数学问题，大多数情况只能借助计算机来解决。例如，四色问题、E8结构、费克特问题、开普勒猜想、埃尔德什差异问题、毕氏三元数问题、x^3+y^3+z^3=k方程、类域的构成问题等著名数学难题，都是借助计算机来破解的。
从20世纪50年代中期起，数学家开始用计算机进行证明定理的尝试。当年英国哲学家及数学家伯特兰·罗素教授经年累月在《数学原理》一书中证明的定理，美籍中国数理逻辑学家王浩教授在1959年只用了9分钟机器时间就证明了其中350条以上，当时引起了轰动，以致通常把1959年称为机器证明的元年。后来，中国数学家吴文俊教授用机器证明几何定理的影响很大。借助计算机来解决数学难题还可以改变了人们对数学以往的认识，产生了新的方法，发展了新的领域。
此外，当今的大素数只能借助计算机来探究。例如，2018年美国一名数学爱好者就借助计算机并通过一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目，成功发现了第51个梅森素数——2^82589933-1(即2的82589933次方减1)；该数有24862048位，是迄今为止人类发现的最大素数。如果用普通字号将它打印下来，它的长度将超过100公里！
也许有人会问：借助计算机破解数学难题，这样“正确”的证明，还算不算是“数学”？由于数据的绝对量过于庞大，以至于没有办法由人工进行验证，那么这种证明能否被验证真伪？如果数学家的工作是通过理论帮助人类更好地理解数学，那通过穷举来解决问题的计算机究竟有什么存在的意义？其实相对于传统数学，新潮数学已经悄然出现，这种新潮数学最明显的标志就是逻辑推理加入计算机辅助运算，二者合并起来对数学难题进行破解。
也许我们只能希望早日有人能用传统方式给出数学问题的逻辑推理。例如，2014年，英国计算机专家阿列克谢·利什特沙博士和鲍里斯·科涅夫博士借助超级计算机证明了埃尔德什差异问题，其运算数据量达13GB之多。一年后，美国加州大学洛杉矶分校华人数学家陶哲轩教授就用传统方式成功破解了这一难题，此事震动了全球数学界。
前不久，美国斯坦福大学、卡内基梅隆大学和罗切斯特理工学院的科学家借助计算机，彻底破解了一个被称为凯勒猜想的数学难题。凯勒猜想是一个已存在了90年之久的谜题，它与不同空间维度上的密铺问题有关。科学家直接将这个数学难题转化成了对10亿个结果进行“暴力搜索”；他们把相关代码输入40台计算机组成的计算集群，30分钟后，计算机给出了一个200GB大小的证明结果：凯勒猜想在不超过7维以上空间都是正确的。
美国微软公司的研究人员尝试借助计算机技术，尤其是人工智能进行自动定理证明：对数学中提出的定理或猜想，寻找一种证明或反证的方法；该方法不仅能根据数学猜想进行演绎，还要有一定的判定技巧。他们利用新的算法，推出计算机定理证明器Lean：数学家可以把数学公式转换成代码，再输入到Lean中，让程序来验证定理是否正确。他们的目标是让Lean参加国际奥数竞赛（IMO），因为它可能会成为一名“种子选手”。
不过绝大部分复杂的数学问题，可能需要新的数学工具，甚至新的数学概念来解决；这些都是当前计算机无法完成的，因为目前的计算机不具备“自主意识”，也不具备真正能推理和解决深度问题的能力。但是也有例外，近代数学的三大难题之一的四色问题，目前就是计算机基本完成证明的；这只是在数量上取得了成功，但在数学上还没有完成四色问题的逻辑证明。
美籍波兰数学家斯塔尼斯拉夫·乌拉姆教授在1976年出版的《一个数学家的奇遇》一书中指出，展望将来会出现一个数学研究的新时代，那时候计算机将成为数学研究的不可缺少的工具。他认为，数学问题将会以游戏的形式提出来，然后由计算机来玩这些游戏，并证明什么东西能成立，什么东西不能成立。
计算机目前成为数学研究的有效工具已是大势所趋，不可阻挡。正如中国科学家及未来学家周海中教授在1993年发表的经典论文《21世纪数学展望》中所言：计算机在数学研究中发挥的作用将越来越大；借助计算机解决数学问题将激励人们去寻求更好、更简单的方法，也加深人们对数学本质特征的认识，还推动以计算机为基础的人工智能发展。毫无疑问，在传统计算机，尤其是量子计算机的助力下，破解数学难题的成果今后会越来越多。
文/李力（作者系美国芝加哥大学数理学部博士后）