如何去破解数学猜想?

数学猜想(英文mathematical conjecture)也称数学猜测、数学假设、数学问题等;它是根据已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断,所以它既有逻辑的成分,又含有非逻辑的成分。因此,数学猜想具有一定的科学性和很大程度的假定性,这种假定性命题是否正确,尚需通过验证和论证。科学界认为,数学猜想对于科学发展,尤其是数学进步的作用巨大的;但是,破解它并非易事。那么,如何去破解数学猜想呢?下面就简要谈谈这一问题。

数学猜想通常由前提和结论两部分组成。它以已有的部分事实和正确的数学知识(公理、定理、公式等)为前提,以在前提的基础上作出的假定性的判断为结论。它可分为存在型猜想(如“费马猜想”),状态型猜想(如“庞加莱猜想”),关系型猜想(如“哥德巴赫猜想”),方法型猜想(如“四色问题”)等。数学猜想是以一定的数学事实为根据,没有数学事实作根据,随心所欲地胡猜乱想得到的命题不能称之为“数学猜想”。
数学猜想通常是利用观察、类比、分析、归纳等方法提出的,或者是在灵感中、直觉中闪现出来的。例如,中国数学家、语言学家周海中教授根据已知的梅森素数及其排列,巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年正式提出了梅森素数分布的重要猜想(即“周氏猜测”);美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格教授指出:“周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。”
数学猜想是猜想者运用分析、综合、演绎,尤其是类比、归纳等科学发现的思维方法,通过对数学对象和客观现象的洞察而预测新的数学事实与规律。创新性是其重要特征,没有创新,就谈不上数学猜想;创新是数学猜想的灵魂,它需要改变旧的思维方式、方法,突破固有的理论观点。数学猜想的创新性表现于揭示新的数学事实、预见新的数学规律。可见,创新性是数学猜想的一大特点,也是数学独特魅力的一种体现。
我们的数学猜测大多是从已有的经验作出的,但已有的经验并不一定是正确的;面对有说服力的证据,要勇于调整自己的观点,要敢于否定自己的观点。虽然我们有理由怀疑一切,去追根究底;也有理由去研究发现一切,追求普遍真理;但是,我们可以借鉴已有的经验,用它来指导我们的实践,不断深化对数学问题的认识。数学猜测作为一种创造性的思维活动,是数学研究的一种科学方法,也是数学发展的一种重要形式,还是认识世界的一种基本方式。
数学猜想有的被验证为正确的(如费马大定理、卡塔兰猜想、庞加莱猜想、林格尔猜想等),并转化为定理,汇入数学理论体系之中,从而丰富了数学理论;有的被验证为错误的(如梅森猜想、欧拉猜想、费马数猜想、冯·诺伊曼猜想等);还有一些正在验证过程中(如abc猜想、黎曼假设、杰波夫猜想、哥德巴赫猜想等)。可以说,数学猜想的解决对于数学进步所带来的影响,不仅在于猜想本身的被证明(证实))或证否(证伪),解决数学猜想过程中所采用的创新研究方法,也是衡量数学进步水平的重大影响因子之一。
数学猜想一般都是经过对大量事实的观察、验证、类比、归纳、概括等而提出来的。这种从特殊到一般,从个性中发现共性的方法是数学研究的重要动力。数学猜想的提出与研究,生动地体现了辩证法在数学中的应用,极大地推动了数学方法论的研究;而数学方法对于数学的进步起着关键性的推动作用,许多比较困难的重大问题的解决,往往取决于数学概念和数学方法上的突破。可以说,数学方法已渗透到数学的各个分支并在数学研究中发挥着重要作用。
此外,数学猜想往往成为数学进步水平的一项重要标志,它的探究会带来新的数学内容,也会诱导出一些新的课题或猜想。例如:由于对费马大定理的研究,德国数学家恩斯特·库默尔教授引进了“理想数”概念,由此奠定了代数数论;哥德巴赫猜想促进了筛法和圆法的发展,尤其是发现了殆素数、例外集合、小变量的三素数定理等;四色问题通过电子计算机得以解决,从而开辟了机器证明的新时代;黎曼假设不仅使素数定理得以证明,还使1000多个数学命题(以黎曼假设成立为前提)得以提出。从这个意义上讲,数学猜想不仅是一颗颗“璀璨艳丽的宝石”,而且是一只只“能生金蛋的母鸡”。
可见,数学猜想对于数学进步的作用巨大,而数学进步往往影响着一个国家的综合实力。对于数学猜想之于科学知识的作用,德国数学家卡尔·高斯教授有句名言:“若无某种大胆果敢的猜想,一般是不可能有知识进展的。”数学知识的进展往往会促进科学的发展,乃至唤起科学的革命。因此,数学猜想是推动科学发展的强大动力之一。许多科学家认为,数学猜想会造就一种独特的魅力,这种魅力会使它独树一帜,激发人们对它的探究兴趣。
何种数学猜想会造就独特魅力呢?前不久,荷兰数学家、物理学家罗贝特·捷格拉夫教授在《量子》杂志发表的“数学猜想的机巧艺术”一文中认为:一个具有魅力的猜想应该具备简洁性;它是一个有根据的猜测,而不是证明;它应该是“不平凡的”,也就是说,不容易被证明;提出猜想的人比终结它的人更重要;数学猜想的证明虽败犹荣。
数学史上充满着各种各样的猜想,伴随并且促进着数学的发展。年年都有不少数学猜想被提出,也有不少数学猜想被破解,还有一些重量级的猜想,让数学家们绞尽脑汁,但迄今尚未被破解;要想破解它们,不仅需要扎实的数学基础、过人的思维能力和顽强的拼搏精神,还需要对前人所做的种种尝试有全面系统了解。
学术界有个说法:全世界适合去攻克重要数学猜想的人不超过100个,那都是具有百分百天赋的数学家。许多数学猜想看似简单易懂,一般人都能理解,但实则内涵深邃无比,不可轻易触碰、盲目求解;否则就会做“无用功”,甚至浪费生命,花了大量的时间和精力,却没有得到任何有意义的结果。
众所周知,数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科;它既是关于已知的,又是关于未知的。数学猜想架起了从已知到未知的桥梁,是一种具有巨大潜力的资源;而破解数学猜想,正是数学家们一直在追求的目标。
数学猜想不仅丰富了数学的研究内容,而且促进了科学的全面发展。最后,让我们借用德国数学家大卫·希尔伯特教授的一句名言来结束本文:“我们必须知道,我们必将知道。”

文/张学进(作者单位:美国芝加哥大学图书馆 英国牛津大学博士后)

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