完美數:數學寶庫中的璀璨鑽石

作者:齊明智

完美數(英文Perfect Number,又稱“完全數”或“完備數”),是一些特殊的自然數。它所有的真因數(即除了自身以外的約數)的和,恰好等於它本身。例如:第一個完美數是6(也是最小的完美數),它有約數1、2、3、6,除去它本身6外,其餘3個數相加,1+2+3=6。完美數神奇而迷人,有“數學寶庫中的璀璨鑽石”之稱。

在西方,完美數6是一個備受寵愛的數字。有人認為,6是屬於美神維納斯的,它象徵著美滿的婚姻;也有人認為,宇宙之所以這樣完美,是因為上帝創造它時花了6天時間等等。中國人對6的喜愛,也是很有說法的;例如成語“六六大順”“六畜興旺”“六谷豐登”“六朝脂粉”“六出奇計”“六合同風”“身懷六甲”“眼觀六路”……不一而足。西元前6世紀的古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯是最早探究完美數的人,他已經知道6是第一個完美數了。

到了西元前3世紀,古希臘數學家歐幾裡得在其名著《幾何原本》中首次給出了尋找完美數的方法,被數學界譽為“歐幾裡得定理”:如果2^P-1是素數(其中指數P也是素數),則2^(P-1)(2^P-1)是完美數。2^P-1型的素數在數學界被稱為“梅森素數”,它是以17世紀法國數學家、法蘭西科學院奠基人馬林·梅森命名的。

1730年,被稱為“世界四大數學家雄獅”之一的瑞士數學家、物理學家萊昂哈德·歐拉,時年23歲,正值風華茂盛。他出手不凡,給出了一個出色的定理:每一個偶完美數都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然數,其中P是素數,2^P-1也是素數。這就是歐幾裡得定理的逆定理。有了歐幾裡得和歐拉兩個互逆定理,公式2^(P-1)(2^P-1)就成為判斷一個偶數是不是完美數的充要條件了。

此外,歐拉在雙目失明的情況下,1772年靠心算證明了2^30(2^31-1)是第8個完美數。這個具有19位的完美數(即2305843008139952128),堪稱當時已知的最大完美數。他的頑強毅力與解題技巧令人讚歎不已;法國大數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯說的話,或許可以代表我們的心聲:“讀讀歐拉,他是我們每一個人的老師。”

法國哲學家、數學家、物理學家勒內·笛卡爾曾公開預言:“能找出完美數是不會多的,好比人類一樣,要找一個完人亦非易事。”歷史已經證實了他的預言。2600多年來,人們歷盡艱辛,一共才找到51個完美數。有趣的是,這些完美數都是偶數,其個位數要麼是6,要麼就是8;至今人們還沒發現奇完美數,如果該數存在的話,它一定是非常巨大的。由於完美數具有獨特美妙的數學性質,千百年來,許多著名數學家以及無數數學愛好者對它情有獨鍾。

由“歐幾裡得-歐拉定理”可知,人們只要找到一個梅森素數,就可以找到一個與其對應的偶完美數。值得指出的是,梅森素數貌似簡單,但當指數P值較大時,其探究難度就會很大;它是數論研究的一項重要內容,也是當今科學探究的熱點和難點之一。

目前,世界上有200多個國家和地區近25萬人參加一個名為“互聯網梅森素數大搜索(GIMPS)”項目,並動用了超過250萬核中央處理器(CPU)聯網來尋找梅森素數。可見,梅森素數的探究非常火爆;這在數學史上前所未有,在科學史上也極為罕見。現在只要人們去GIMPS的主頁下載一個名為“Prime95”免費程式,就可以立即參加GIMPS項目來搜尋梅森素數。

前不久,來自美國佛羅里達州的互聯網專家及數學愛好者派翠克·拉羅什利用GIMPS項目,成功發現第51個梅森素數2^82589933-1;該數有24862048位,它是當今人類發現的最大素數。由此可以知道第51個完美數是2^82589932(2^82589933-1);如果用普通字型大小將這個完美數列印下來,其長度將超過200公里!

值得一提的是,在梅森素數的素性判斷方面,法國數學家愛德華·魯卡斯和美國數學家德里克·雷默都做出了重要貢獻;以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素數素性的最佳方法。在梅森素數的分佈探索方面,中國數學家、語言學家周海中給出了梅森素數分佈的精確運算式;這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。

需要指出的是,實際上完美數目前並不“完美”,它還有一些謎團尚未解決。例如:是否有無窮多個完美數?奇完美數到底存在不存在?完美數在自然數中是如何分佈的?這些都是當今數論領域的著名難題;它們與其他科學難題一樣,有待人們去攻克。正如德國數論專家卡爾·西格爾所言:“待到它被完全破解時,所謂的‘完美數’才算是真正的完美數。”

最後一提的是,完美數是當前數論研究中的前沿課題之一,也是歷來人們尋找數學美的重要組成部分;儘管我們現在還看不到它的實際用處,但它卻反映了自然數的某些基本規律。探究自然規律,揭開未知之謎,這正是科學追求的終極目標。可以預料完美數這顆數學寶庫中的璀璨明珠正以其獨特魅力,吸引著更多的有志者去探尋和研究。

文/齊明智(作者系德國波恩大學博士後)